Description
给定一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的有向无环图，每条边长度都是 \(1\)。请找到一个点，使得删掉这个点后剩余的图中的最长路径最短。
\(1\leq N\leq 500 000,1\leq M\leq 1 000 000\)
Solution
比较神...
值得注意的是，对于一张 \(\text{DAG}\) 的拓扑序，任意从中截断那么前一部分以及后一部分的点都是连续的。
考虑按拓扑序来做，我们需要维护的就只是左边一部分内的最长路，以及右边一部分内的最长路。
除此之外还要维护经过被“割开”边的最长路。
对于删除一个点，我们需要做的就是将“割边”转移，维护上述需要维护的信息。
可以用可删除的堆来实现，不过考虑到空间的花销，用权值线段树可以实现同样的功能。
Code
#includeusing namespace std;const int N = 500000+5, inf = ~0u>>1;int n, m, u, v, c1[N], c2[N], q[N];struct graph { struct tt {int to, next; }edge[N<<1]; int path[N], top, in[N]; void add(int u, int v) {edge[++top] = (tt){v, path[u]}, path[u] = top, ++in[v]; } void topsort(int* c, int flag) { queue Q; int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) if (!in[i]) Q.push(i); while (!Q.empty()) { int u = Q.front(); Q.pop(); if (flag) q[++cnt] = u; for (int i = path[u]; i; i = edge[i].next) { --in[edge[i].to]; c[edge[i].to] = max(c[edge[i].to], c[u]+1); if (in[edge[i].to] == 0) Q.push(edge[i].to); } } }}g1, g2;struct Segment_tree {#define lr(o) (o<<1)#define rr(o) (o<<1|1) int mx[N<<2], cnt[N<<2]; Segment_tree() {memset(mx, -1, sizeof(mx)); } void modify(int o, int l, int r, int loc, int key) { if (l == r) { cnt[o] += key; if (cnt[o] == 1) mx[o] = l; else if (cnt[o] == 0) mx[o] = -1; return; } int mid = (l+r)>>1; if (loc <= mid) modify(lr(o), l, mid, loc, key); else modify(rr(o), mid+1, r, loc, key); mx[o] = max(mx[lr(o)], mx[rr(o)]); }}T;void work() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &u, &v); g1.add(u, v), g2.add(v, u); } g1.topsort(c1, 1), g2.topsort(c2, 0); int ans = inf, pos; for (int i = 1; i <= n; i++) T.modify(1, 0, n, c2[i], 1); for (int id = 1; id <= n; id++) { int u = q[id]; for (int i = g2.path[u]; i; i = g2.edge[i].next) T.modify(1, 0, n, c2[u]+c1[g2.edge[i].to]+1, -1); T.modify(1, 0, n, c2[u], -1); if (T.mx[1] < ans) ans = T.mx[1], pos = u; for (int i = g1.path[u]; i; i = g1.edge[i].next) T.modify(1, 0, n, c1[u]+c2[g1.edge[i].to]+1, 1); T.modify(1, 0, n, c1[u], 1); } printf("%d %d\n", pos, ans);}int main() {work(); return 0; }